素因数分解, 約数の種類数, 高速版 osa_k ～高速な素因数分解～

O(√N) Ver

// 素因数分解
// その素因数が何個あるかのmapを返す
map<ll, ll> factorize(ll n){
    map<ll, ll> mp;
    ll sq = sqrt(n);
    FOR(i, 2, sq+1){
        while(n%i==0){
            mp[i]++;
            n/=i;
        }
    }
    // 残り
    if(n!=1){
        mp[n]++;
    }
    return mp;
}

// 約数の種類数
// 6 => 1, 2, 3, 6なので4
ll yaku(ll n){
  auto mp = factorize(n);
  ll ret = 1;
  for(auto pa : mp){
    ret *= (pa.second+1);
  }
  return ret;
}

• verified
  • AC https://codeforces.com/contest/1203/submission/60353082
  • AC https://yukicoder.me/submissions/335272
• このオーダーで大抵は事足りる
• 約数一覧 : https://perogram.hateblo.jp/entry/diverta2019_d

SPF配列 (O(log(N))の前準備)

• SPF : smallest prime factor
  • https://scrapbox.io/ganariya/CodeforcesRound596_D%E5%95%8F%E9%A1%8C2000Solved%E3%80%8CPower_Products%E3%80%8D
• vを割れる最小の素数を事前に準備しておく
  • 12なら2
  • 15なら3
• その素数でまず割って、小さくなった値に対しても再帰的に割ることで「割れるか確かめる」ことが省ける
• これは計算量 log(N) となり、√Nよりも大分速い

素因数分解（高速版）O(log(N))

• 上記SPFを使う。osa_k法とも言うそう
• こちらの問題で使った https://yukicoder.me/problems/no/1006
• AC https://yukicoder.me/submissions/451495
• 事前準備にO(N logN)使う
• コード抜粋

const int N_MAX = 2000000;
ll spf[N_MAX]; // smallest prime factors
void prepare_factorize(){
  rep(i,N_MAX) spf[i] = i;
  for(int p=2; p*p <= N_MAX; p++){
    for(int i=p; i<N_MAX; i+=p){
      if(spf[i]==i) spf[i] = p;
    }
  }
}

// 素因数分解
// その素因数が何個あるかのmapを返す
map<ll, ll> factorize_fast(ll n){
    if(spf[1]==0){
      p("please initialize");
      exit(0);
    }
    map<ll, ll> mp;
    while(n!=1){
      ll p = spf[n];
      mp[p]++;
      n/=p;
    }
    return mp;
}

// 約数の種類数
// 6 => 1, 2, 3, 6なので4
ll yaku(ll n){
  auto mp = factorize_fast(n);
  ll ret = 1;
  for(auto pa : mp){
    ret *= (pa.second+1);
  }
  return ret;
}

ll f(ll v){
  return v - yaku(v);
}

int main(){
    cin.tie(0);
    ios::sync_with_stdio(false);

    // input
    ll X;cin>>X;

    prepare_factorize();

    vector<pair<ll, PII>> V;
    FOR(a, 1, X){
      ll b = X-a;
      if(b<=0) continue;
      ll v = abs(f(a)-f(b));
      V.push_back(MP(v, MP(a,b)));
    }
    sort(ALL(V));

    ll mi = V[0].first;
    for(auto triplet : V){
      if(triplet.first==mi){
        ll a = triplet.second.first;
        ll b = triplet.second.second;
        p2(a,b);
      }
    }
    
    return 0;
}

高速素因数分解(logA)を約数列挙に適用する

• 「高速約数列挙」としてよく言われているものは O(sqrt(A)) のものが多い
• 上記osa_kで素因数分解した後、その結果を使えば O(log(A)) で求められそうなのでやってみた
• 問題：D - Not Divisible
  • https://atcoder.jp/contests/abc170/tasks/abc170_d
  • AC https://atcoder.jp/contests/abc170/submissions/14380182
• 素因数分解した結果、各素因数ごとに何乗を採用するかをdfsで全探索して約数を列挙している
• 画像でいうと下記

// 高速約数列挙
// 名前は変えたほうがいいかもね
// devisorのためのdfsということでdfsd
void dfsd(ll cur_idx, ll cur_val, VI&Y, 
  vector<PII>& mp // (value, count)
  ){
  ll N = mp.size();
  if(cur_idx==N){
    // 値が完成
    Y.push_back(cur_val); return;
  }
  ll v = mp[cur_idx].first;
  ll c = mp[cur_idx].second;
  // p乗を全通り試す (0, ..., p乗)
  ll mul = 1;
  rep(p, c+1){
    dfsd(cur_idx+1, cur_val*mul, Y, mp);
    mul *= v;
  }
  return;
}

// 約数一覧 O(nlogn)
VI calc_devisors_fast(ll a){
  VI Y; // 戻り値（入れ物）
  
  auto mp = factorize_fast(a);
  vector<PII> V;
  for(auto pa : mp){
    V.push_back(pa);
  }

  dfsd(0, 1, Y, V);
  return Y;
}